值函数逼近处理连续/大规模状态空间。本文推导线性逼近和神经网络的SGD更新规则，将Sarsa、Q-learning扩展为函数逼近形式，并讨论深度Q网络（DQN）中的经验回放和目标网络技术。

TD学习结合蒙特卡洛和动态规划的优势，实现在线、低方差的值估计。本文解析TD(0)、Sarsa、Q-learning等算法的更新规则与收敛性，讨论n步回报的偏差-方差权衡，并建立与随机逼近的理论联系。

随机逼近（RM算法）和随机梯度下降（SGD）是强化学习的优化基础。本文推导RM算法的收敛条件，对比BGD/SGD/MBGD的收敛特性，建立与TD学习的理论桥梁，解释优化中的两阶段行为。

蒙特卡洛方法通过采样轨迹估计值函数，实现无模型学习。本文介绍MC Basic、MC Exploring Starts和MC ε-Greedy三种算法，分析探索机制设计，对比批量更新与在线更新的优劣，阐述大数定律下的收敛保证。

值迭代和策略迭代是求解MDP的经典动态规划方法。本文对比两种算法的流程、收敛性和计算效率，引入截断策略迭代作为平衡方案，并通过网格世界示例演示其应用，揭示广义策略迭代（GPI）的统一框架。

贝尔曼最优方程（BOE）是求解最优策略的核心工具。本文证明BOE解的存在唯一性，分析值迭代的收敛性，探讨奖励设计、折扣率对策略的影响，并给出确定性策略充分性的理论保证。

状态值函数量化策略的长期收益，贝尔曼方程揭示其递归结构。本文通过网格世界示例展示状态值计算，推导贝尔曼方程的矩阵形式与求解方法，并分析状态值与动作值的关系，为策略评估奠定数学基础。

本文定义状态、动作、奖励、策略等核心概念，形式化MDP五元组框架。通过网格世界示例说明状态转移、回报计算和任务分类（分幕vs连续），为后续算法提供统一的数学建模基础。